Groups(군)

 

 

 

 

군론은 여러분야에서 많이 적용됩니다. 그 군에 대해서 알아보겠습니다!

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목차

1. Groups
2. Groups 의 특성
3. ~~

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Groups$($군$)$

1. Group 정의
   $⟨G,\ast ⟩$ 에 대하여, 집합 $G$ 가 binary operation $\ast$ 에 대하여 닫혀 있고$($$⟨G,\ast ⟩$ 이 binary structure 라서 당연하거지만!$)$,
   다음의 조건들을 만족하면 $⟨G,\ast ⟩$ 를 group$($군$)$ 이라고 부릅니다.
   
   
   1. associative$($결합법칙$)$
      임의의 $a,b,c\in G$ 에 대하여, $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ 이다.
      
      
   2. identity element$($항등원$)$
      임의의 $x\in G$ 에 대하여, $e\ast x=x\ast e=x$ 를 만족하는 identity element $e$ 가 집합 $G$의 원소이다.
      
      
   3. inverse$($역원$)$
      임의의 $a\in G$ 에 대하여, $a\ast a^{{}^{\prime }}=a^{{}^{\prime }}\ast a=e$ 를 만족하는 $a$ 의 inverse $a^{{}^{\prime }}$ 가 집합 $G$ 의 원소이다.
2. Abelian Group 정의
   Group 중에서 commutative$($교환법칙$)$ 성질까지 만족하는 경우 abelian group$($가환군, 아벨군$)$ 이라고 부른다.
   
   
3. 예시
   
   
   1. $⟨{\mathbb{Z}}^{+},+⟩$ 는 group 이 아니다.
      왜냐하면 덧셈에 대한 identity element 가 $\mathbb{Z}^{+} 의 원소가 아니기 때문이다.
   2. $⟨U,\cdot ⟩$ 은 group 이다.
      임의의 실수 $\theta$ 에 대하여 $e^{i\theta }\in U$ 인데,
      $\theta =0$ 인 identity element 1 이 $U$ 에 속하고
      $e^{i\theta }$ 의 inverse 는 $e^{i(2\pi -\theta )}$ 인데 이것들도 집합 $U$ 에 속하기 때문이다.
4.