Binary Operations

 

 

 

 

Binary Operations$($이항연산$)$부터 시작합니다!

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목차

1. Binary Operation
2. Closed under, Induced operation
3. Commutative, Associative
4. Tables

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Binary Operation

1. 정의:
   집합 $S$에서 정의된 binary operation $\ast$ 는 정의역이 $S\times S$ 이고 공역인 $S$ 인 함수를 말합니다.
   각각의 $(a,b)\in S\times S$ 에 대하여 $S$ 에 있는 원소 $a\ast b$를 $\ast ((a,b))$ 로도 표기합니다.
   
   
2. 예시:
   1. $M(\mathbb{R})$ 을 실수 값들만 원소로 갖는 모든 행렬의 집합이라고 해봅시다.
      일반적인 matrix 덧셈 + 는 Binary Operation 이 아닙니다.
      왜냐하면 $A+B$는 각각의 행렬의 행과 열의 개수가 같지 않다면 정의되지 않기 때문입니다.
      
      
   2. 실수의 집합 $\mathbb{R}$에 대하여 일반적인 덧셈 + 는 binary operation 입니다.
      $\mathbb{R}$ 을 포함하여 $\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{R}}^{+}$, ${\mathbb{Z}}^{+}$ 에서도
      덧셈 +는 binary operation 입니다.

Closed under, induced operation

1. 정의:
   binary operation $\ast$ 가 집합 $S$에서 정의되었다고 합시다.
   그리고 $H$는 $S$의 부분집합이라고 합시다.
   모든 $a,b\in H$ 에 대하여 $a\ast b\in H$ 일 때 다음과 같이 말합니다.
   
   

   "The subset $H$ is closed under $\ast$" $($ 부분집합 $H$ 는 연산 $\ast$ 에 대하여 닫혀 있다$)$

   
   그리고 $H$로 제한된 binary operation $\ast$ 를 다음과 같이 말합니다.
   
   

   "induced operation of $\ast$ on $H$" $($ $H$에 대하여 유도된 연산 $)$

2. 예시:
   
   1. $\mathbb{R}$ 에서의 덧셈 + 는 binary operation 이지만 nonzero 실수들의 집합 ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 에서의
      덧셈 + 는 binary operation 가 아닙니다.
      왜냐하면 $2\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $-2\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ 이지만,
      $2+(-2)=0\notin {\mathbb{R}}^{\ast }$ 이기 때문입니다.
      
      
   2. 정의역과 공역이 실수인 모든 함수 $f$ 들의 집합을 $F$ 를 생각해봅시다.
      집합 $F$ 에 대해서 $+$, $-$, $\cdot$, $\circ$ 연산자들을 정의하겠습니다.
      집합 $F$의 임의의 두 원소 $f$와 $g$에 대하여 $x\in \mathbb{R}$ 일 때,
      
      

      $f+g$ : $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ addition
      $f-g$ : $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ subtraction
      $f\cdot g$ : $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ multiplication
      $f\circ g$ : $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ compoisition

      
      4개의 연산은 모두 공역이 $\mathbb{R}$ 입니다.
      따라서 집합 $F$ 는 연산 $+$, $-$, $\cdot$, $\circ$에 대하여 닫혀있습니다.
      
      

Commutative, Associative

1. 임의의 $a,b\in S$ 에 대하여 $a\ast b=b\ast a$ 가 성립할 때,
   binary operatoin $\ast$ on a set $S$ 는 commutative 라고 말합니다.
2. 임의의 $a,b,c\in S$ 에 대하여 $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ 가 성립할 때,
   binary operatoin $\ast$ on a set $S$ 는 associative 라고 말합니다.

Tables

유한 집합의 경우, 그 집합 위의 연산은 표 형태로 정리해서 나타낼 수 있다.
표의 왼쪽에는 연산 왼쪽에 있는 원소, 표의 위쪽에는 연산 오른쪽에 있는 원소를 써놓고
해당하는 행과 열이 만나는 지점에 연산의 결과를 써 놓는 것이다.

 

예시)

$\ast$	$a$	$b$	$c$
$a$	$c$	$a$	$b$
$b$	$b$	$a$	$a$
$c$	$c$	$c$	$a$

위의 표에서 1행 2열의 의미는 $a\ast b=a$ 라는 뜻이다. 3행 2열은 $c\ast b=c$ 라는 뜻이다.

 

여기까지!