Isomorphic(동형 사상)

 

 

 

 

이전에 포스트 했던 글$($링크$)$의 binary operation을 표현한 tables를 다시 갖고 왔습니다.

$\ast$	$a$	$b$	$c$
$a$	$c$	$a$	$b$
$b$	$b$	$a$	$a$
$c$	$c$	$c$	$a$

위의 표와 아래의 표를 비교해보시길 바랍니다.

${\ast }^{{}^{\prime }}$	$@$	$\mathrm{ㄱ}$	$\mathrm{ㄹ}$
$@$	$\mathrm{ㄹ}$	$@$	$\mathrm{ㄱ}$
$\mathrm{ㄱ}$	$\mathrm{ㄱ}$	$@$	$@$
$\mathrm{ㄹ}$	$\mathrm{ㄹ}$	$\mathrm{ㄹ}$	$@$

구조가 비슷하지 않나요?

$$a\leftrightarrow @b\leftrightarrow \mathrm{ㄱ}c\leftrightarrow \mathrm{ㄹ}$$
위와 같이 일대일 대응을 시키면 같은 구조라는 것을 알 수 있습니다.
이렇게 구조가 같은 것들에 대해 이번 포스트에서 다룰려고 합니다!

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목차

1. Binary algebraic structure
2. Isomorphic Binary Structure
3. Isomorphic Binary Structure 관련 예제
4. Identity Element

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Binary algebraic structure$($이항대수구조$)$

집합 $S$ 와 집합 $S$ 위의 연산 $\ast$ 를 묶어서 $⟨S,\ast ⟩$ 와 같이 쓰고,
이와 같은 어떠한 집합과 그 위의 연산을 묶어서 표현한 것을 binary algebraic structure 라고 부릅니다.

Isomorphic Binary Structure

$⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$ 와 같은 Binary algebraic structure 2개가 있다고 합시다.

이 두개의 binary algebraic structure 가 구조적으로 같다고 말하기 위해서는
$S$ 에 속한 원소 $x,y$ 와 $S^{{}^{\prime }}$ 에 속한 원소 $x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }}$ 들 사이에 다음의 조건을 만족하는 일대일 대응이 있어야 합니다.

if $x\leftrightarrow x^{{}^{\prime }}$ and $y\leftrightarrow y^{{}^{\prime }}$, then $x\ast y\leftrightarrow x^{{}^{\prime }}{\ast }^{{}^{\prime }}{y}^{{}^{\prime }}$

 

즉, 집합 $S$ 에 있는 원소를 집합 $S^{{}^{\prime }}$ 에 있는 원소로 일대일 대응시켜주는 함수 $\varphi$ 가 있다고 할 때,
위의 식을 아래와 같이 표현할 수 있습다.

$$x^{{}^{\prime }}=\varphi (x),y^{{}^{\prime }}=\varphi (y)$$

$$\varphi (x\ast y)=\varphi (x){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (y)$$

 

이제 정리를 해봅시다.
$⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$ 두개의 binary algebraic structures에 대하여
집합 $S$ 와 $S^{{}^{\prime }}$ 사이의 isomorphism 이란, 다음 조건을 만족하는 일대일 함수 $($일대일 대응 아님$)$ $\varphi$ 를 말합니다.

$\varphi (x\ast y)=\varphi (x){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (y)$ for all $x,y\in S$

$homomorphismproperty$

그리고 이러한 일대일 함수 $\varphi$ 가 존재한다면 집합 $S$ 와 집합 $S^{{}^{\prime }}$ 는 isomorphic binary structures $($동형이항구조$)$ 라고 말합니다.
이는 $S\simeq S^{{}^{\prime }}$ 라고 표기하며, $\ast$와 ${\ast }^{{}^{\prime }}$를 생략합니다.

 

그렇다면 위의 회색 박스에서 왜 $isomorphismproperty$ 가 아닌 $homomorphismproperty$ 라고 썼을지 궁금하실 수 있습니다.
그 이유는 homomorphism과 달리 isomorphism 이라는 것은 one-to-one correspondence $($일대일 대응$)$을 포함한 개념이기 때문입니다.

 

그렇다면 우리는 어떻게 $⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$  binary structures 가 isomorphic 하다는 것을 보일 수 있을까요?
다음과 같은 4가지 과정을 거치면 됩니다.

1. 집합 $S$ 와 집합 $S^{{}^{\prime }}$ 에게 isomorphism을 보일 수 있는 함수 $\varphi$를 정의합니다.
   
   
2. 함수 $\varphi$ 가 one-to-one function임을 보입니다.
   즉, $x,y\in S$ 에 대하여 $\varphi (x)=\varphi (y)$ 이면 $x=y$ 라는 것을 보입니다.
   
   
3. 함수 $\varphi$ 가 onto function임을 보입니다.
   즉, $S^{{}^{\prime }}$ 에 속하는 모든 원소 $x^{{}^{\prime }}$ 에 대하여, $\varphi (x)=x^{{}^{\prime }}$을 만족하는 $x\in S$ 가 존재함을 보입니다.
   
   
4. 임의의 $x,y\in S$ 에 대하여 $\varphi (x\ast y)=\varphi (x){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (y)$ 임을 보입니다.

반대로 $⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$  binary structures 가 isomorphic 하지 않다는 것은 어떻게 보일 수 있을까요?
주로 두 isomorphic binary structures 의 구조적인 특성이 다르다는 것을 통해 증명합니다.

집합 $S$ 와 $S^{{}^{\prime }}$ 사이의 mapping 이 존재할 때, $⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$  binary structures 가 isomorphic 하지 않다는 것은 
주로 하나의 binary structure 에 존재하는 구조적 특성이, 다른 binary structure 에는 존해하지 않음을 보임으로써 증명합니다.

 

Isomorphic Binary Structures 관련 예제

두 개의 binary algebraic structure $⟨\mathbb{R},+⟩$ 와 $⟨{\mathbb{R}}^{+},\cdot ⟩$ 은 Isomorphic 합니다.
아래는 위의 4가지 증명법을 통해 증명한 증명법입니다.

Step1. 덧셈 연산을 곱셈으로 바꿀 수 있는 것을 생각해봅시다. 지수함수를 살펴보겠습니다.
            $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$ 관계를 생각해봅시다.
            지수함수 중에 하나인 $e^x$ 를 $\varphi (x)$ 로 둡니다.
            즉, $\varphi (x)=e^x$ 로 정의해봅시다.. $\varphi :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ 입니다.

Step2. 만약 $\varphi (x)=\varphi (y)$ 라면, $x=y$ 입니다.
            왜냐하면 $e^x=e^y$ 양변에 로그를 취해주면 $x=y$ 라는 결과가 나오기 때문입니다.
            따라서 $\varphi$ 는 one-to-one function 입니다.

Step3. 임의의 $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ 가 있다고 합시다.
            그러면 $\ln (x)\in \mathbb{R}$ 이고 $\varphi (\ln x)=e^{\ln x}=x$ 입니다.
            따라서 $\varphi$ 는 onto function 입니다. 

Step4. 임의의 $x,y\in \mathbb{R}$ 에 대하여,
            $\varphi (x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=\varphi (x)\cdot \varphi (y)$ 을 만족합니다.
            따라서, 두 개의 binary algebraic structure $⟨\mathbb{R},+⟩$ 와 $⟨{\mathbb{R}}^{+},\cdot ⟩$ 은 Isomorphic 합니다.

 

Identitiy Element$($항등원$)$

1. 정의
   Binary structure $⟨S,\ast ⟩$ 가 있다고 합시다.
   임의의 $s\in S$ 에 대하여 $e\ast s=s\ast e=s$ 를 만족할 때, $S$ 의 원소 $e$ 를 Identity element 라고 부릅니다.
   
   
2. 정리 1: 항등원의 단일성
   
   

     Binary structure $⟨S,\ast ⟩$ 에는 identity element 가 존재한다면 한 개의 identity element 만 존재합니다.

   
   간단히 증명하자면, 어떠한 binary structure에 identity element $e$ 와 $\overline{e}$ 가 존재한다고 합시다.
   그러면 identity element 의 정의에 의하여, $e$를 identity element 로 보는 관점에서는 $e\ast \overline{e}=\overline{e}$ 이면서
   $\overline{e}$를 identity element 로 보는 관점에서는  $e\ast \overline{e}=e$ 입니다.
   따라서 $e=\overline{e}$ 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 따라서, identity element 는 unique 합니다.
   
   
3. 정리 2
   
   

     $⟨S,\ast ⟩$ 에 identity element $e$ 가 있다고 합시다.
   $\varphi :S\to S^{{}^{\prime }}$ 가 $⟨S,\ast ⟩$ 와 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$ 의 isomorphism 이라고 합시다.
   그러면 $\varphi (e)$ 가 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$ 의 identity element 입니다.

   
   증명은 다음과 같습니다.
   $x\in S$ 이고 $x^{{}^{\prime }}\in S^{{}^{\prime }}$ 이라고 합시다.
   $e$ 는 $⟨S,\ast ⟩$ 의 identity element 이기 때문에 다음의 식이 성립합니다.
   $$e\ast x=x\ast e=x$$
   $\varphi$ 는 함수이기 때문에 아래의 식이 성립합니다.
   $$\varphi (e\ast x)=\varphi (x\ast e)=\varphi (x)$$
   isomorphism 의 정의에 의하여  $\varphi (e\ast x)=\varphi (e){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (x)$ 가 성립하기 때문에
   $$\varphi (e){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (x)=\varphi (x){\ast }^{{}^{\prime }}\varphi (e)=\varphi (x)$$
   라는 것을 알 수 있습니다.
   따라서 $\varphi (e)$ 가 $⟨S^{{}^{\prime }},{\ast }^{{}^{\prime }}⟩$ 의 identity element 입니다.