이전에 포스트 했던 글$($링크$)$의 binary operation을 표현한 tables를 다시 갖고 왔습니다.
| $\ast$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $a$ | $c$ | $a$ | $b$ |
| $b$ | $b$ | $a$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $c$ | $a$ |
위의 표와 아래의 표를 비교해보시길 바랍니다.
| $\ast ^{'}$ | $@$ | $ㄱ$ | $ㄹ$ |
| $@$ | $ㄹ$ | $@$ | $ㄱ$ |
| $ㄱ$ | $ㄱ$ | $@$ | $@$ |
| $ㄹ$ | $ㄹ$ | $ㄹ$ | $@$ |
구조가 비슷하지 않나요?
$$a \leftrightarrow @ \qquad b \leftrightarrow ㄱ \qquad c \leftrightarrow ㄹ$$
위와 같이 일대일 대응을 시키면 같은 구조라는 것을 알 수 있습니다.
이렇게 구조가 같은 것들에 대해 이번 포스트에서 다룰려고 합니다!
목차
- Binary algebraic structure
- Isomorphic Binary Structure
- Isomorphic Binary Structure 관련 예제
- Identity Element
Binary algebraic structure$($이항대수구조$)$
집합 $S$ 와 집합 $S$ 위의 연산 $\ast$ 를 묶어서 $\langle S, \ast \rangle$ 와 같이 쓰고,
이와 같은 어떠한 집합과 그 위의 연산을 묶어서 표현한 것을 binary algebraic structure 라고 부릅니다.
Isomorphic Binary Structure
$\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ 와 같은 Binary algebraic structure 2개가 있다고 합시다.
이 두개의 binary algebraic structure 가 구조적으로 같다고 말하기 위해서는
$S$ 에 속한 원소 $x,\, y$ 와 $S^{'}$ 에 속한 원소 $x^{'},\, y^{'}$ 들 사이에 다음의 조건을 만족하는 일대일 대응이 있어야 합니다.
if $x \leftrightarrow x^{'}$ and $y \leftrightarrow y^{'}$, then $x \ast y \leftrightarrow x^{'} \ast^{'} y^{'}$
즉, 집합 $S$ 에 있는 원소를 집합 $S^{'}$ 에 있는 원소로 일대일 대응시켜주는 함수 $\phi$ 가 있다고 할 때,
위의 식을 아래와 같이 표현할 수 있습다.
$$x^{'} = \phi (x),\; y^{'} = \phi (y)$$
$$\phi (x \ast y) = \phi(x) \ast ^{'} \phi(y)$$
이제 정리를 해봅시다.
$\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ 두개의 binary algebraic structures에 대하여
집합 $S$ 와 $S ^{'}$ 사이의 isomorphism 이란, 다음 조건을 만족하는 일대일 함수 $($일대일 대응 아님$)$ $\phi$ 를 말합니다.
$\phi (x \ast y) = \phi(x) \ast ^{'} \phi(y)$ for all $x,\, y \in S$
$homomorphism\; property$
그리고 이러한 일대일 함수 $\phi$ 가 존재한다면 집합 $S$ 와 집합 $S ^{'}$ 는 isomorphic binary structures $($동형이항구조$)$ 라고 말합니다.
이는 $S \simeq S ^{'}$ 라고 표기하며, $\ast$와 $\ast ^{'}$를 생략합니다.
그렇다면 위의 회색 박스에서 왜 $isomorphism\; property$ 가 아닌 $homomorphism\; property$ 라고 썼을지 궁금하실 수 있습니다.
그 이유는 homomorphism과 달리 isomorphism 이라는 것은 one-to-one correspondence $($일대일 대응$)$을 포함한 개념이기 때문입니다.
그렇다면 우리는 어떻게 $\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ binary structures 가 isomorphic 하다는 것을 보일 수 있을까요?
다음과 같은 4가지 과정을 거치면 됩니다.
- 집합 $S$ 와 집합 $S ^{'}$ 에게 isomorphism을 보일 수 있는 함수 $\phi$를 정의합니다.
- 함수 $\phi$ 가 one-to-one function임을 보입니다.
즉, $x,\, y \in S$ 에 대하여 $\phi(x) = \phi(y)$ 이면 $x = y$ 라는 것을 보입니다. - 함수 $\phi$ 가 onto function임을 보입니다.
즉, $S ^{'}$ 에 속하는 모든 원소 $x ^{'}$ 에 대하여, $\phi(x) = x ^{'}$을 만족하는 $x \in S$ 가 존재함을 보입니다. - 임의의 $x,\, y\in S$ 에 대하여 $\phi(x \ast y) = \phi(x) \ast ^{'} \phi(y)$ 임을 보입니다.
반대로 $\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ binary structures 가 isomorphic 하지 않다는 것은 어떻게 보일 수 있을까요?
주로 두 isomorphic binary structures 의 구조적인 특성이 다르다는 것을 통해 증명합니다.
집합 $S$ 와 $S^{'}$ 사이의 mapping 이 존재할 때, $\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ binary structures 가 isomorphic 하지 않다는 것은
주로 하나의 binary structure 에 존재하는 구조적 특성이, 다른 binary structure 에는 존해하지 않음을 보임으로써 증명합니다.
Isomorphic Binary Structures 관련 예제
두 개의 binary algebraic structure $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ 와 $\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle$ 은 Isomorphic 합니다.
아래는 위의 4가지 증명법을 통해 증명한 증명법입니다.
Step1. 덧셈 연산을 곱셈으로 바꿀 수 있는 것을 생각해봅시다. 지수함수를 살펴보겠습니다.
$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$ 관계를 생각해봅시다.
지수함수 중에 하나인 $e ^{x}$ 를 $ \phi (x) $ 로 둡니다.
즉, $ \phi (x) = e^{x} $ 로 정의해봅시다.. $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ 입니다.
Step2. 만약 $\phi (x) = \phi (y)$ 라면, $x = y$ 입니다.
왜냐하면 $ e^{x} = e^{y} $ 양변에 로그를 취해주면 $x = y$ 라는 결과가 나오기 때문입니다.
따라서 $\phi$ 는 one-to-one function 입니다.
Step3. 임의의 $x \in \mathbb{R}^{+}$ 가 있다고 합시다.
그러면 $\ln(x) \in \mathbb{R}$ 이고 $\phi (\ln x) = e^{\ln x} = x$ 입니다.
따라서 $\phi$ 는 onto function 입니다.
Step4. 임의의 $x,\, y \in \mathbb{R}$ 에 대하여,
$\phi (x + y) = e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y} = \phi (x) \cdot \phi (y)$ 을 만족합니다.
따라서, 두 개의 binary algebraic structure $\langle \mathbb{R}, + \rangle$ 와 $\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle$ 은 Isomorphic 합니다.
Identitiy Element$($항등원$)$
- 정의
Binary structure $\langle S, \ast \rangle$ 가 있다고 합시다.
임의의 $s \in S$ 에 대하여 $e \ast s = s \ast e = s$ 를 만족할 때, $S$ 의 원소 $e$ 를 Identity element 라고 부릅니다. - 정리 1: 항등원의 단일성
Binary structure $\langle S, \ast \rangle$ 에는 identity element 가 존재한다면 한 개의 identity element 만 존재합니다.
간단히 증명하자면, 어떠한 binary structure에 identity element $e$ 와 $\bar{e}$ 가 존재한다고 합시다.
그러면 identity element 의 정의에 의하여, $e$를 identity element 로 보는 관점에서는 $e \ast \bar{e} = \bar{e}$ 이면서
$\bar{e}$를 identity element 로 보는 관점에서는 $e \ast \bar{e} = e$ 입니다.
따라서 $e = \bar{e}$ 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 따라서, identity element 는 unique 합니다. - 정리 2
$\langle S, \ast \rangle$ 에 identity element $e$ 가 있다고 합시다.
$\phi : S \rightarrow S^{'}$ 가 $\langle S, \ast \rangle$ 와 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ 의 isomorphism 이라고 합시다.
그러면 $\phi (e)$ 가 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ 의 identity element 입니다.
증명은 다음과 같습니다.
$x \in S$ 이고 $x^{'} \in S^{'}$ 이라고 합시다.
$e$ 는 $\langle S , \ast \rangle$ 의 identity element 이기 때문에 다음의 식이 성립합니다.
$$e \ast x = x \ast e = x$$
$\phi$ 는 함수이기 때문에 아래의 식이 성립합니다.
$$\phi (e \ast x) = \phi (x \ast e) = \phi (x)$$
isomorphism 의 정의에 의하여 $\phi (e \ast x) = \phi (e) \ast^{'} \phi (x)$ 가 성립하기 때문에
$$ \phi (e) \ast^{'} \phi (x) = \phi (x) \ast^{'} \phi (e) = \phi (x)$$
라는 것을 알 수 있습니다.
따라서 $\phi (e)$ 가 $\langle S^{'}, \ast^{'} \rangle$ 의 identity element 입니다.